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수학 에 해당하는 글9 개
2007/04/20   수학 이야기: 오일러의 공식 (4)
2007/03/04   수학 이야기: e (6)
2007/02/26   수학 이야기: 함수 (8)
2007/02/22   수 이야기: i (9)
2007/02/05   항등원과 교환법칙 (10)
2007/01/27   TeX, 조판 그 이상의 가능성 (3)
2007/01/16   문제의 그 문제 (6)
2007/01/07   "리만 가설"(존 더비셔, 승산) (2)
2006/11/26   단순성과 적합성


수학 이야기: 오일러의 공식
자연/수학 | 2007/04/20 10:34
이번엔 진짜로 오일러의 공식을 설명하겠다. 오래 걸린 것에 비해 별로 특별한 얘기는 없다. 이제까지 글들을 따라온 분들이라면 오일러의 공식이 대충 어떤 원리로 성립할 지 이미 짐작하고 있을 것이다.

수 이야기: i에서는 "복소수의 곱셈은 각도의 덧셈과 같다"고 했다. 1은 0도, 허수 i는 90도, -1은 180도를 가리키기 때문에 i × i하면 90도+90도 하여 180도가 되고 따라서 -1이 된다. 행렬 중에 회전행렬이라는 것의 곱셈도 각도의 덧셈과 같기 때문에 복소수의 곱셈과 회전 행렬의 곱셈은 사실상 똑같다. 이 성질을 이용하면 복소수를 cosθ + isinθ꼴로 나타낼 수 있다.

수학 이야기: 함수에선 여러 가지 얘기를 했는 데 오일러의 공식과 관련된 부분은 지수 함수가 곱셈과 덧셈을 바꾸는 함수라는 점이다. 복소수의 곱셈이 각도의 덧셈과 같기 때문에 복소수는 지수 함수하고도 똑같다고 생각할 수 있다. 그러면 어떤 각도 θ에 해당하는 복소수 cosθ + isinθ가 있듯이 지수함수도 있을 것이 틀림없다.

그 지수함수를 찾는 방법에는 여러 가지가 있는 데 미적분을 이용하는 게 비교적 간편하다. 그냥 미적분 공식을 이용해서 계산 몇 번 해주면 된다. z = cosθ + isinθ를 θ에 대해 미분하면 cos x를 미분하면 -sin x, sin x를 미분하면 cos x가 되기 때문에 다음과 같이 된다.

dz/dθ = -sinθ + icosθ

이 식에서 우변을 다시 정리하면

dz/dθ = i(cosθ + isinθ)

가 되고 괄호 안의 부분은 원래의 z와 똑같기 때문에

dz/dθ = iz

이제 dθ를 우변으로, z를 좌변으로 넘겨주면

dz/z = idθ

이제 양변을 적분하면 다음과 같은 로그함수를 얻는다.

logez = iθ

이 로그함수를 지수함수 형태로 바꾸면

z = eθi

z = cosθ + isinθ이므로 다음과 같은 오일러의 공식을 얻을 수 있다.

eθi = cosθ + isinθ

마지막으로 육십분법의 180도에 해당하는 각도를 호도법으로 나타낸 π를 θ에 대입하면 cosπ는 -1, sinπ는 0이므로 eπi = -1이 된다. -1을 등호 왼쪽으로 넘겨주면 eπi+1=0이라는 아름다운 식을 얻을 수 있다.

태그 : 수학, 오일러
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수학 이야기: e
자연/수학 | 2007/03/04 00:47
수 이야기: i
수학 이야기: 함수

오일러의 공식 eπi+1=0에는 수학에서 가장 중요한 수 e, π, i, 0, 1이 모두 들어있다. i에 대해서는 설명했고 이제는 e에 대해 설명할 차례다. e는 온갖 영화에 까메오로 출연해서 실제 자기 작품이 무엇인지 알 수 없게 되어버린 영화배우 같은 수다. 수학의 여기 저기에 불쑥 불쑥 나타나는 데 그 모습들이 워낙 달라서 어느 것이 e의 실체인지 좀처럼 알 수가 없다. 그래서 원주율 π나 허수 단위 i처럼 그 성질을 꼭 집어서 부르는 이름도 없고 발견자들의 이름을 따서 "오일러의 수"나 "네이피어의 수"라고 하기도 하지만 실제로 그렇게 부르는 사람은 아무도 없다. 그래도 e의 가장 중요한 모습을 꼽자면 미분과 관련된 성질이다.

미분은 순간적인 변화량을 말한다. 익숙한 예로 거리의 순간적인 변화량인 속도를 들 수 있다. 우리는 몇 가지 간단한 공식을 가지고 거리에 해당하는 함수로부터 속도에 해당하는 함수를 구할 수 있다. 이것을 "미분한다"고 말한다. 두 가지만 알아보자. f(x) = 1과 같은 함수를 미분하면 f'(x) = 0을 얻는다. 왜냐하면 f(x)는 x에 무엇을 넣어도 1이 나오기 때문에 순간적이고 자시고 간에 변화가 없다. 속도에 해당하는 함수 f'(x)는 항상 0이다.

또 f(x) = x2을 미분하면 f'(x) = 2x를 얻는다. 문자에 수를 제곱한 경우에는 그 지수를 문자에 앞에 곱해주고 지수에서 1을 깎는다. 몇 가지 예를 들어보면 x는 지수가 1이니까 앞에 1을 곱해주고 지수를 0으로 깎아서 1x0이 된다. x0은 항상 1이므로 1이 된다. x3을 미분하면 3을 앞에 곱해주고 지수 3을 2로 깎아서 3x2이 된다.

미분과 관련된 e의 중요한 특징은 ex를 미분하면 역시 ex를 얻는다는 것이다. 이게 무슨 말이냐하면 서울에서 부산까지 자동차를 몰고 가면서 단 한 번도 엑셀에 발을 떼지 않고 가는 데 10Km 지점을 지날 때 속도가 시속 10Km, 20Km 지점을 지날 때는 속도가 시속 20Km 이런 식으로 거리와 속도가 항상 일치하는 식이다. 직관적으로는 좀처럼 가능해보이질 않는 데 e가 도대체 어떤 수면 이런 일이 가능한지 한 번 계산을 해보자.

계산을 하기 전에 미분의 한 가지 특징을 알아야 한다. 달인 페인트공 한 명과 초보 페인트공 두 명이 있다고 하자. 달인은 혼자서 초보 두 명 분의 일을 한다. 그러면 달인이 페인트를 칠한 벽의 넓이는 초보 두 명이 칠한 넓이를 더한 것과 같을 테고, 달인의 속도도 초보 둘의 속도를 덧한 것과 같을 것이다. 마찬가지로 어떤 함수를 두 부분으로 쪼개서 따로따로 미분을 하면 원래 함수를 미분한 것과 똑같다. 그러면 ex를 ax2+bx+c 같은 익숙한 x의 다항식으로 쪼개서 따로따로 미분을 해보자. 그러면 ex는 아래와 같은 방식으로 고쳐쓸 수 있을 것이다.

ex = a + bx + cx2 + dx3 + ...

이제 a,b,c,d,...만 구하면 된다. 일단 x=0일 때 e0=1이니까 a=1이다. 나머지 부분은 x가 0이 되어 사라지기 때문이다. 그러면 이제 우리가 하나는 알아냈다.

ex = 1 + bx + cx2 + dx3 + ...

이제 할 일은 계속해서 미분을 하는 것 뿐이다. ex를 미분하면 역시 ex니까 1 + bx + cx2 + dx3 + ...도 미분하면 역시 1 + bx + cx2 + dx3 + ...가 되야 한다. 한 번 해보면 1은 0이 되고 bx는 b가 되고 cx2은 2cx가 되는 식이다. 그래서

ex = 1 + bx + cx2 + dx3 + ... = b + 2cx + 3dx2 + ...

같은 차수의 항끼리 비교해보면 b=1이고 2c = b, 3d = c, ...이 된다. 그러면 c=1/2, d=1/6,...이다. 이걸 죽 늘어서 써보면 다음과 같이 된다.

ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120 + ...

위의 식에서 분모를 잘보면 일정한 패턴이 있다. 다시 써보면

ex = 1 + x/1 + x2/(1×2) + x3/(1×2×3) + x4/(1×2×3×4) + x5/(1×2×3×4×5) + ...

1부터 n까지 자연수를 순서대로 곱한 것을 계승이라고 하고 n!이라고 쓴다. 그리고 0!은 1로 본다. 그러면 우리는 위의 식을 간단히 다음과 같이 쓸 수 있다.

ex = 1/0! + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + ...

e는 ex에서 x=1인 경우니까 위의 식에서 모든 x를 1로 바꾸면 아래처럼 아름다운 식이 된다.

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...

대충 구해보면 e는 2.71828...이다. 여기서 e의 새로운 모습을 볼 수 있다. e는 0과 모든 자연수의 계승의 역수의 합이다. e가 놀라운 점은 여러 가지 다양한 모습을 가지고 있다는 것만이 아니라 그 모습 하나 하나가 모두 단순하고 아름다운 형태라는 점이다. 이런 현상은 다양한 수학의 각 분야들이 어떤 공통적인 원리로 묶여있으며 그것들을 우아한 방식으로 통합할 수 있을 것이라는 믿음의 근거가 된다.

어쩌다보니 이번 글도 길어져버렸다. --; 오일러의 공식은 다음 글에서 설명할 수 있을런지... 요즘 이 얘기를 괜히 꺼냈다고 후회 중..  어쨌든 to be continued

태그 : 수학, 오일러
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수학 이야기: 함수
자연/수학 | 2007/02/26 17:37
수 이야기: i

이번 글의 주제는 이 넓고 넓은 수학 세계의 여러 나라에 대한 이야기다. 현실 세계의 나라가 사람들로 이뤄져있듯이 수학 세계의 나라는 함수(function)로 이뤄져있다. 대부분의 나라에서 함수는 수를 먹고 (사는 게 아니라) 싼다. 수학 세계의 나라들은 매우 평화로와서 대부분의 함수들은 서로를 잡아먹는 대신 남이 싸놓은 것을 먹는 먹이 사슬을 이루고 있다.

어떤 나라든 가장 기본적인 함수만 살고 있으면 그 함수들의 주둥이와 엉덩이를 이어붙여서 다른 함수들도 만들어낼 수 있다. 예를 들어 +1 함수는 수 하나를 먹고 1을 더해서 싼다. +1 함수 두 개를 이어붙이면 +2 함수가 되고, 세 개를 이어붙이면 +3 함수가 된다. 이렇게 함수를 이어붙여 만든 새로운 함수를 합성함수라고 한다. 1과 +1 함수만 있으면 자연수의 나라를 세울 수 있다.

종종 어떤 함수들은 성격 나쁜 쌍둥이를 가지고 있는 데, 이 쌍둥이들은 함수가 싸놓은 것을 먹고, 먹은 것을 싼다. 이 쌍둥이들을 역함수라고 부른다. 예를 들어 +1 함수와 -1 함수는 서로 역함수다. 이 둘을 합성시키면 소화불량에 걸려 먹은 것을 그대로 싸는 항등함수 +0이 된다.

어떤 포악한 함수들은 수를 먹고 수를 싸는 대신 함수를 먹고 함수른 싼다. 여느 육식동물과 마찬가지로 이런 함수들은 덩치가 무척 커서 주둥이에서 엉덩이까지 길이가 국경을 넘어선다. 그래서 한 나라의 함수들이 이 '육식' 함수의 뱃속에서 옷을 갈아입고 다른 나라로 이민을 간다.

수 이야기: i 에서도 얘기했지만 복소수의 곱셈은 2차원 평면 위에서 회전과 같다. 따라서 복소수 나라의 곱셈은 평면 회전 나라로 갈 때는 덧셈의 옷을 입는다. 1은 0°, -1은 180°가 되고 i는 90° 회전이기 때문에 i×i하면 90°+90°해서 180° 즉 -1이 된다.

비슷한 방식으로 덧셈이 곱셈으로, 곱셈이 덧셈으로 바뀌는 일은 빈번하다. 예를 들어 등차수열의 일반항은 a+(n-1)d, 등비수열의 일반항은 arn-1이다. 이들도 함수인데 등차수열의 일반항은 자연수 n을 먹고 등차수열을 내놓는다. 예를 들어 초항 a가 1이고 공차 d가 2인 등차수열은 1,3,5,7,... 이런 식으로 나가는 데 n이 3이면 이 수열의 세 번 째 수인 5를 내놓게 된다. 등비수열의 일반항도 마찬가지로 자연수 n을 먹고 등비수열을 내놓는다. 초항 a가 1이고 공비 r이 2인 등비수열은 1,2,4,8,... 이런 식으로 나가는 데 n이 3이면 이 수열의 세 번 째 수인 4를 내놓게 된다. 다시 한 번 두 함수를 잘 들여다보면 등차수열의 일반항 a+d×(n-1)에서 덧셈을 곱셈으로 옷을 갈아입히고 d를 r로 고치면 arn-1이 된다. 반대로 등비수열의 일반항에서 곱셈을 덧셈으로 옷을 갈아입히면 등차수열의 일반항이 된다.

등차수열과 등비수열의 경우에 덧셈과 곱셈의 옷을 갈아입히는 함수가 바로 지수함수와 로그함수다. 지수함수는 덧셈을 먹어 곱셈을 싸고, 로그함수는 곱셈을 먹고 덧셈으로 싼다. 당연한 얘기지만 이 둘은 서로 역함수 관계다. 이 둘 사이에 뭘 하나 끼워넣으면 재밌는 일이 일어난다. 로그함수→산술평균→지수함수 순으로 함수를 이어붙이면 무슨 함수가 될까? 놀랍게도 기하평균이 된다.

               
산술평균     기하평균     조화평균


좀 차근차근 설명을 해보면 a와 b를 로그 함수에 넣으면 log(a)와 log(b)가 된다. 그 다음에 이들을 산술평균 내면 { log(a) + log(b) } / 2가 된다. 로그함수는 곱셈을 덧셈으로 바꾸기 때문에 log(a×b)=log(a)+log(b)가 되는 데 이를 거꾸로 이용하면 log{(a×b)1/2}가 된다. 이걸 지수함수 exp에게 먹이면 exp와 log가 합쳐져 항등함수가 되고 (a×b)1/2을 그대로 싸게 된다.

비슷한 원리가 조화평균에도 적용된다. 어떤 수 n를 먹고 그 역수 1/n을 싸는 함수를 역수 함수라고 부르자. 역수 함수의 역함수는 역시 역수 함수다. 2를 먹고 1/2을 싸면 다시 그걸 먹고 2를 싸니까. 그래서 역수 함수→산술평균→역수 함수를 하면 조화평균이 된다. 정말로 그런지 직접 해보는 건 독자의 몫으로 남겨둔다.

자, 그러면 여기서 평균에 대한 일반적인 정의를 하나 만들 수 있다. 평균이란 "함수→산술평균→역함수" 꼴의 합성함수다. 산술평균의 경우에는 앞과 뒤에 붙는 함수와 역함수가 항등함수다. 당연히 항등함수의 역함수는 항등함수고. 제곱→산술평균→루트를 한 표준편차도 제곱과 루트가 정확히 역함수 관계는 아니지만 평균의 사촌 쯤 된다고 할 수 있다.

그럼 이제 오일러의 공식을 설명할 차례다. (to be continued)

태그 : 수학, 오일러
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수 이야기: i
자연/수학 | 2007/02/22 14:30
얼마 전 세상에서 가장 아름다운 공식이 무엇이냐는 어느 인터넷 사이트의 설문 조사에서 수 많은 수학과 물리학의 유명 공식들을 제치고 오일러의 공식 e πi+1=0 이 1위를 차지했다. 수학에서 중요한 다섯 가지 수 e, π, i, 1, 0의 단순한 연산만으로 이뤄진 이 신비한 공식은 신이 세계를 창조했다는, 그리고 그 신의 미적 감각(또는 유머 감각?)이 상당하다는 근거로 쓰일 만하다.

π, 1, 0이야 무엇인지 다 아니까 건너뛰고 여기서는 e와 i 에 대해서만 이야기해보자. 먼저 i. 고등학교 교과서에 따르면 i 는 제곱하면 -1이 되는 수이다. 이 정의만 보면 단지 수험생들을 괴롭히기 위해 수학자들이 상상해낸(imaginary) 수처럼 보인다. 그러나 i는 그 이름과 달리 진짜(real) 수이다.

복소수(complex number)는 a+bi 꼴로 표현한다. 여기서 a는 실수, bi는 허수다. 익히 알고 있듯이 복소수끼리 더할 때 실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리만 더한다. 덧셈만 보면 복소수는 하나의 수처럼 보이지도 않고 단지 두 개의 수를 억지로 묶어놓은 것처럼 보인다. 맞다. 복소수는 두 개의 수를 묶어서 만든 "2차원의 수"이다.

우리가 익히 알고있는 자연수, 유리수, 실수는 "1차원의 수"이다. 그래서 초등학교 때 배운 것처럼 하나의 직선 위에 점으로 표시할 수 있다. 이것만으로도 우리는 지금까지 잘먹고 잘 살았는 데 왜 도대체 "2차원의 수"가 필요하단 말인가? 사실은 초중고등학교를 거쳐오면서 이미 "2차원의 수"는 물론 그 이상의 수도 잘 배워서 써먹고 있다. 단지 '겉모습'이 다르기 때문에 몰라봤을 뿐이다. 그 수란 좌표, 벡터, 행렬이다.

복소수 a+bi가 '옷을 갈아입으면' 좌표 (a,b)도 되고 벡터 t(a b)도 된다는 것은 직관적으로 지극히 자연스럽다.(t 표시는 가로와 세로를 바꿔서 읽으라는 표시다. 벡터는 세로로 쓰지만 그러기엔 화면을 많이 차지하니까.) 복소수는 행렬로도 옷을 갈아입을 수 있다. 그리고 좌표나 벡터의 경우보다 억지스러워보이지만 실제로는 더 자연스럽다. 모든 복소수 a+bi는 행렬

a  -b
b   a

로 나타낼 수 있다. 행렬도 칸을 많이 차지하니까 위의 행렬을 이제는 [a -b; b a]라고 표기하도록 하자. 복소수끼리 덧셈을 해보면 (a+bi)+(c+di)는 (a+c)+(b+d)i이고 행렬로 바꿔서 더해도 [a -b; b a] + [c -d; d c] = [(a+c) -(b+d); (b+d) (a+c)]이다. 덧셈도 덧셈이지만 곱셈을 해보면 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i와 [a -b; b a][c -d; d c]=[(ac-bd) -(ad+bc); (ad+bc) (ac-bd)]로 똑같다.

복소수를 행렬로 바꿔도 더하고 곱하는 데 아무 지장이 없다는 이야기는 뒤집어 말하면 '어떤 종류의 행렬'을 복소수로 바꿔도 역시 괜찮다는 얘기가 된다. 그 '어떤 종류의 행렬'이 무엇인지는 위의 행렬의 모양을 잘 보면 알 수 있다. 사실 고등학교 3년 전체에 걸쳐 저렇게 생긴 모양의 행렬은 딱 하나 밖에 없다. 그것은 회전행렬(rotation matrix)이다.

cosθ  -sinθ
sinθ   cosθ

sin과 cos의 최대값은 1 밖에 안되기 때문에 크기를 나타내는 z를 곱해주면 [a -b; b a]는 z[cosθ -sinθ; sinθ cosθ]라는 꼴로 다 나타낼 수 있고, 복소수로 다시 바꿔주면 모든 복소수 a+bi는 z(cosθ + i sinθ)로 나타낼 수가 있다.

회전 행렬을 곱하는 것은 2차원 평면을 시계 반대방향으로 θ의 각도만큼 회전시키는 것과 동일하다. 따라서 우리는 a+bi가 '회전'을 나타내는 수라고 쉽게 생각할 수 있다. 그러면 왜 i 2이 -1이 되는지도 자명하다. 1이 0도 방향이라면 -1은 반대 방향이니까 180도 방향이겠다. 그러면 '어떤 회전'을 두 번 하면 0도에서 180도로 방향이 바뀔까? 초등학생도 알만한 이 질문의 답은 90도다. 90도 돌고, 또 90도 돌면 180도가 된다. 앞에서 봤다시피 '복소수를 곱하는 것'은 '회전 행렬을 곱하는 것'과 같고 '회전 행렬을 곱하는 것'은 '시계 반대방향으로 θ만큼 회전하는 것'과 같다. 다시 말해서 i 를 곱하는 것은 "시계 반대방향으로 90도 회전"하는 것과 같고 i 2 즉 i 를 두 번 곱하는 것은 "시계 반대방향으로 90도 회전"을 두 번 하는 것이다.

이것이 i의 '진짜' 의미는 아니다. 단지 i의 옷을 몇 번 갈아입히다보니 저절로 드러나게 된 모습일 뿐이다. i의 옷을 계속 갈아입히다보면 생각치도 않은 별별 희안한 모습들을 다 보게 되겠지만 그 얘기를 하다보면 한도 끝도 없을 테니 옷 갈아입히기 놀이는 여기까지만 해두도록 하자. 어차피 수학에서 어떤 수도 자신의 알몸을 우리에게 보여주는 일은 없다.

응용삼아 생각을 조금 확장해보자. 비행기는 기수를 들거나 낮추는 피칭(pitching), 날개를 흔드는 요잉(yawing), 수평으로 도는 롤링(rolling) 세 가지 회전을 할 수 있다. 그러면 이런 회전도 하나의 수로 나타낼 수 있을까? 못할 것도 없다. i 가 수평방향 회전을 나타내니까 두 개의 회전을 더 추가하면 된다. 예를 들어 a+bi+cj+dk 같은 식으로. 그리고 이런 수가 실제로 있으니 이를 사원수(四元數, quaternion)라고 부른다.

(다음에 계속)

태그 : 수학, 오일러
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항등원과 교환법칙
자연/수학 | 2007/02/05 15:07
항등원과 교환법칙 (Pomp On Math & Puzzle)

이항연산 *이 a*b = b*a이면 교환법칙을 만족한다고 말한다. 만약 *의 항등원 e가 있으면 a*e=e*a=a를 만족한다. 식의 모양이 똑같기 때문에 항등원이 있으려면 교환법칙이 있어야 한다고 잘못 생각하기 쉽다. 네이버 지식인에 "항등원 교환법칙"이라고 치니까 질문이 433개나 나오네.

그런데 a*e = e*a = a인 것은 교환법칙 때문에 생기는 현상이 아니라 항등원 자체가 지닌 성질이다. 행렬 같은 건 예로 들어줘도 안 믿는 사람들이 있으니까 증명을 해보면

모든 a에 대해 '왼쪽 항등원' eL은 eL*a = a이고 '오른쪽 항등원' eR은 a*eR=a라고 하자. 그러면 eL = eL*eR = eR 따라서 eL = eR = e이고 e*a = a*e = a인 것이다. 교환법칙과 상관이 없다.

역원의 경우도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다. 일단 결합법칙 a*b*c = (a*b)*c = a*(b*c)만 있으면 a의 왼쪽 역원 xL과 오른쪽 역원 xR에 대해서 xL = xL*e = xL*(a*xR)= (xL*a)*xR = e*xR = xR이다. 따라서 xL = xR = x이고 a*x = x*a = e를 만족한다. 역시 교환법칙과 상관이 없다.

음. 증명도 안 믿는 사람들이 많으니까 별 소용 없으려나.

태그 : 수학
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TeX, 조판 그 이상의 가능성
도구 | 2007/01/27 01:42
오늘 10시부터 고등과학원에서 열리는 "한국 TeX 사용자 모임 5주년 학술발표회 및 한국 TeX 학회 창립 총회"참석. 아침부터 서울을 남에서 북으로 가로지를 생각을 하니 캐안습이로고.

참고로 TeX('텍' 또는 '테흐'라고 읽는다)은 과학자를 위한 HTML이다. 간단한(?) 예

TeX: \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi \sigma^2 }} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right)

결과:

태그 : TeX, 도구, 수학
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문제의 그 문제
자연/수학 | 2007/01/16 18:11
복직 재판에 패소한 전직 교수가 담당 판사에게 상해를 입힌 사건이 일어났다. 이 사건의 뿌리는 이미 10년이 넘은 어느 수학 문제로 거슬러 올라간다.

영 벡터가 아닌 세 공간벡터 a, b, c가 모든 실수 x, y, z에 대하여 |xa+yb+cz|≥|xa|+|yb|를 만족할 때 주어진 세벡터는 서로 직교함을 증명하라.

이 문제는 95년 성균관대 입학시험 본고사 문제였다. 이 외계어를 풀어서 설명해보자. 우선 벡터(vector). 수학에서 벡터는 어떤 방향과 거리로 이동하는 것을 나타낸다. 아래 그림을 보면 a라고 표시된 화살표가 있다. 벡터 a는 저 화살표의 방향으로 화살표의 길이만큼 이동하는 것이다. 여기에 실수를 곱하면 이동 거리를 그만큼 늘린다. 2a는 a와 같은 방향으로 두 배 더 이동한다.



벡터끼리 더하면 어떻게 될까. 벡터 a와 벡터 b를 더하면 a만큼 간 다음에 다시 b만큼 간다는 것을 의미한다. 결과적으로는 a의 시작점과 b의 끝점을 이은 벡터가 된다. 쉽게 말해서 "강남에서 영등포"로 갔다가 다시 "영등포에서 서울역"으로 가면 결국 "강남에서 서울역"으로 간 셈이다.

마지막으로 |a|라고 표기하는 벡터의 절대값은 벡터의 거리를 나타낸다. 이제 우리가 알아야할 것은 모두 알았다. 문제를 보면 |xa+yb+cz|≥|xa|+|yb|는 모든 실수에 대하여 만족한다고 되어있다. 그러니까 z를 0이라고 하면 위의 |xa+yb|≥|xa|+|yb|이 되고 그림으로는 아래처럼 된다.



당연한 얘기지만 삼각형에서 한 변의 길이는 항상 다른 두 변의 길이의 합보다 짧다. 일단 직선의 정의를 생각해보자. 직선이란 "두 점 사이의 최단 거리"이다. 두 꼭지점을 직선으로 이은 것이 변이기 때문에, 한 변은 두 꼭지점 사이의 최단 거리다. |xa+yb|≤|xa|+|yb|일 수 밖에 없다. 그런데 문제에서는 |xa+yb|≥|xa|+|yb|이라고 했으니까 두 가지를 모두 만족할 수 있는 경우는 |xa+yb|=|xa|+|yb| 밖에 없다. 이게 어떤 경우냐하면 아래 그림처럼 벡터 a와 벡터 b의 방향이 똑같은 경우다. (수정: 사실은 이 경우도 x와 y가 임의의 실수기 때문에 성립하질 않는다. 덧글 참조)



여기까지만 보면 벡터 a와 벡터 b가 수직이 아니라는 결론에 도달할 법도 하다. 그러나, 이 문제의 심각한 결함은 다른 데 있다. 이 문제의 주어진 조건에서 벡터 a와 벡터 b는 직교해야하기 때문이다.

설명은 길어서 접는다.


결국 이 문제에서 주어진 조건은 "a와 b는 같은 방향이면서 직교"한다는 모순에 빠진다.  "철수는 사람이면서 사람이 아닐일 때, 철수가 사람이라는 사실을 증명하라"라는 문제인 셈인다.

당시 성균관대 수학과에 재직 중이던 K 교수는 이 사실을 발견하고 이 문제를 채점에서 제외해야 한다고 주장하다가 "학교에 해를 끼친다"는 이유로 3개월 정직, 그리고 재임용 탈락에 이르게 된다. 그 후 10년 동안 K 교수는 무보수 연구원으로 전전하며 학교 측을 상대로 소송을 걸었다. 대한수학회와 고등과학원은 이 문제가 잘못됐는 지 확인해달라는 법원의 요청을 거절했고, K 교수는 1심과 2심에서 모두 지고 만다. 그리고 그는 2심 판사를 찾아가 활로 쏜다.

물론 재판에 졌다고 판사에게 위해를 가하는 것은 용납되지 않는다. 그러나 그 이전에 이미 그는 학교 당국, 대한수학회, 고등과학원, 법원 모두로부터 "수학 문제가 잘못되었다"라고 말하는 것을 용납받지 못했다. 누군가의 입을 틀어막고서 "폭력이 아닌 대화로" 문제를 해결하라는 언명은 벡터 a와 b가 같은 방향이면서 직교할 때 직교하는 지 증명하라는 것보다 나을 게 무엇인지.

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